| 23 | 12-06-2019
Calcolo della funzione di transizione per la coda M/M/infinito e del suo limite al divergere del tempo.
Correzione esercizi i) e ii) del III e IV appello del 2017/2018
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| 22 | 11-06-2019
Catene di branching.
Code markoviane a tempo continuo: M/M/infinito e M/M/N.
Correzione esercizi i) e ii) del II appello del 2017/2018
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| 21 | 05-06-2019
Equazione di Kolomogorov all'avanti.
Catene di Markov a tempo continuo di nascita e morte.
Calcolo della funzione di transizione per le catene di pura nascita.
Correzione esercizi i) e ii) del I appello del 2017/2018 |
| 20 | 29-05-2019
Proprietà della matrice Q.
Dimostrazione di una prima equazione differenziale soddisfatta dalla funzione di transizione.
Calcolo della funzione di transizione nel caso a due stati. |
| 19 | 28-05-2019
Enunciato della perdita di memoria in tempo continuo.
Dimostrazione del fatto che la perdita di memoria implica che i tempi di permanenza negli stati siano esponenziali.
Matrice dei parametri infinitesimali, Q: un nuovo insieme di parametri per descrivere una dinamica markoviana in tempo continuo.
Il caso a due stati.
Proprietà della matrice Q.
Dimostrazione di una prima equazione differenziale soddisfatta dalla funzione di transizione.
Calcolo della funzione di transizione nel caso a due stati.
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| 18 | 22-05-2019
Verifica della legge del k-mo tempo di salto di un processo di Poisson che compie n salti entro il tempo T.
Dinamica markoviana a tempo continuo in uno spazio discreto: i parametri che la descrivono.
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| 17 | 21-05-2019
Calcolo della legge in un tempo fissato del processo di Poisson non stazionario.
Legge dei tempi di salto di un processo di Poisson condizionata al numero degli eventi fino ad un tempo fissato (senza dimostrazione) e applicazione al calcolo del costo di attesa.
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| 16 | 15-05-2019
Splitting di un processo di Poisson. Coda con infiniti sportelli con tempo di servizio a due valori e flusso di ingresso Poisson. Processo di Poisson composto: definizione e media in un tempo fissato. Richiamo di analisi: problema di Cauchy del I ordine lineare. |
| 15 | 14-05-2019
Il processo di Poisson come modello per un flusso di eventi "rari". Somma di due processi di Poisson indipendenti (merging). Problema della scorta. |
| 14 | 08-05-2019
Probabilità che una variabile esponenziale sia più piccola di un'altra esponenziale ed indipendente. Indipendenza degli incrementi del processo di Poisson e loro legge. Problema della multa. |
| 13 | 07-05-2019
Definizione del processo di Poisson, calcolo della funzione di distribuzione di una gamma e calcolo della legge del processo di Poisson in un tempo generico, perdita di memoria del processo di Poisson.
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| 12 | 30-04-2019
Definizione di ergodicità. Se una catena è ergodica esiste ed è unica la misura invariante.
Definizione di periodo di uno stato e dimostrazione della sua unicità in una catena irriducibile.
Condizione necessaria e sufficiente per l'ergodicità per le catene irriducibili persistenti positive.
Regolarità di una dinamica irriducibile a stati finiti.
Esercizio 4 delle Note. |
| 11 | 17-04-2019
Esercizio 12 e Esercizio 13 delle Note.
Misure stazionarie: caso catena irriducibile persistente positiva, caso irriducibile a stati finiti, caso nascita e morte irriducibile.
Esercizio 14 delle Note. |
| 10 | 16-04-2019
Comportamento asintotico della catena a 2 stati.
Misure stazionarie: definizione, caso dinamica bistocastica, nessuna, una o infinite, valore sugli stati transienti (da cui segue che l'esistenza di almeno uno stato persistente è CN per l'esistenza). |
| 9 | 10-04-2019
Probabilità di estinzione per la catena di nascita e morte con estremi assorbenti.
Catena del giocatore e probabilità di rovina.
Persistenza e transienza di una catena di nascita e morte con infiniti stati.
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| 8 | 09-04-2019
Correzione esercizio e sue varianti.
Probabilità di assorbimento.
Tempo medio di assorbimento nella classe di tutti gli stati persistenti in una catena a stati finiti. |
| 7 | 03-04-2019
La probabilità di raggiungere in k passi un qualsiasi stato transiente va a zero quando k diverge.
Esistenza di almeno uno stato persistente quando lo spazio degli stati è finito.
Condizione sufficiente per la transienza di uno stato.
Condizione sufficiente per la persistenza di uno stato.
Gli stati delle classi irriducibili finite sono persistenti.
La classe irriducibile che contiene uno stato persistente e tutti gli stati che con esso comunicano.
Decomposizione dello spazio degli stati.
Nel caso stati finiti, condizione necessaria affinché uno stato sia transiente.
Uscita certa dalla classe degli stati transienti nel caso questa sia finita.
Esempi di decomposizione dello spazio degli stati. |
| 6 | 02-04-2019
Correzione esercizio.
Legge del numero totale di visite ad uno stato.
Valor medio del numero totale di visite ad uno stato transiente. |
| 5 | 27-03-2019
Stati comunicanti e classi irriducibili.
Definizione di transienza e persistenza di uno stato.
Lemma di continuità della misura di probabilità.
Teorema degli infiniti ritorni.
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| 4 | 26-03-2019
Probabilità di transizione in n passi e legge al tempo n.
Catene di nascita e morte: catena della rovina del giocatore e catena di Ehrenfest. |
| 3 | 20-03-2019
Richiami su probabilità condizionata di eventi, formula del prodotto e indipendenza di famiglie di eventi e variabili aleatorie.
Definizione di Catena di Markov a tempo discreto e spazio discreto.
Passeggiata aleatoria sugli interi in forma ricorsiva. |
| 2 | 19-03-2019
II test di autovalutazione con correzione
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| 1 | 13-03-2019
I test di autovalutazione con correzione |